牌組構築是在卡牌遊戲中相當有趣的一環。雖然在ptcgp中能放入的牌只有少少的20張,但怎麼分配其中不同類型卡片的比例也會大大影響牌組的順暢程度。這篇文章想要探討「放入牌組中的進化鏈長度與卡手機率」的關係。
二、問題定義
我定義了兩種不同情況,「抽N張牌後湊齊主要combo」及「抽N張牌後仍無法完成任一條進化鏈」,並分別計算不同牌組在整個遊戲進程中這兩項機率的變化。
1. 「抽N張牌後湊齊主要combo」
目前的主流牌組中都有「湊齊了特定combo後毀天滅地」的特性,如經典的超夢沙奈朵只要做出來就可以開始150連發;又或者是像近期的時拉比君主蛇有沒有做出來強度天差地別。在此我將此情況定義為,湊齊該牌組內的主要進化鏈的機率,如超夢沙奈朵就會是「超夢+拉魯拉絲+奇魯莉安+沙奈朵」,而不會考慮額外塞的無論是普超夢或夢幻Ex。在此條件下皮卡丘Ex算是唯一的例外,所以我將他的combo條件設定為抽到「皮卡丘Ex+任三張電屬基礎寶可夢」。
2. 「抽N張牌後仍無法完成任一條進化鏈」
我們在遊戲進行中常常會遇到一種情況:手上滿是道具、支援者、或是另外一條進化鏈的一二階進化型,雖然場上已經鋪了基礎寶可夢卻一點戰鬥力都沒有。這個情況在所有寶可夢都需要進化才有戰鬥力的牌組中影響巨大,如火快攻的烈焰馬+九尾、鬥牌嘎拉+穿山王等。由於超夢Ex及時拉比Ex本身即具有戰鬥能力,因此我將類似情況的Ex寶可夢視為單一完整的進化鏈,意即抽到超夢Ex即視作完成一條進化鏈。
三、方法
針對兩種不同情況,我們可以用高中學過的排列組合來計算發生的機率。為了符號簡潔,我後面會用大寫英文當作單卡名稱。
1. 「抽N張牌後湊齊主要combo的機率」
假設我們有一組combo需要A, B, C三張牌各至少一張,牌組上限為20張且每張牌在牌組內各兩張。
P(抽到完整 combo) = P(至少一張 A ∧ 至少一張 B ∧ 至少一張 C)
熟悉機率計算的看到至少會反射性地換成 (1 - 沒抽到),因此我們可以代換成:
P(抽到完整combo) = 1 - P(沒抽到 A ∨ 沒抽到 B ∨ 沒抽到 C)
由於上述描述並非各自獨立,所以將括號拆開時要補上兩兩交集:
P(抽到完整combo) = 1 - P(沒抽到 A) - P(沒抽到 B) - P(沒抽到 C) + P(沒抽到A ∧ 沒抽到B) + P(沒抽到A ∧ 沒抽到C) + P(沒抽到B ∧ 沒抽到C) - P(沒抽到A ∧ 沒抽到B ∧ 沒抽到C)
而沒抽到A的機率相當於在所有可能性中(20張抽N)去除掉2張A(18張抽N):
P(沒抽到 A) = C(18, N) / C(20, N)
P(沒抽到A ∧ 沒抽到B) = C(16, N) / C(20, N)
...
如果我們需要的combo需要同類型牌組兩張以上,則可將公式擴展成:
P(抽到兩張以上A) = 1 - P(沒抽到A) - P(只抽到一張A)
以此類推,就可以算出抽N張牌時,湊齊特定combo的機率為多少。
2. 「抽N張牌後仍無法完成任一條進化鏈的機率」
由於前述已經計算湊齊特定combo的機率,因此我們只要將單一條進化鏈帶入以上算法再用1去扣即為所求。同樣的,如果有多條進化鏈我們展開時也需要補回交集的部分。
P(無法完成任一條進化鏈) = 1 - P(湊齊進化鏈1) - P(湊齊進化鏈2) + P(湊齊進化鏈1 ∧ 湊齊進化鏈2)
四、實驗
我從幾種不同進化鏈長度組合中各自挑了一個牌組做為代表,1+3的超夢Ex、2+2的火快攻、2+3的雙彈蜈蚣王、3+3的尼多后、以及比較特例1+1+2的皮卡丘Ex。其中尼多后分成一王一后及二王一后兩種版本。由於遊戲開局會抽5張牌,所以我羅列開場5張至抽乾20張時的機率變化。其中,我特別標出了理論上最速進化的第8張牌(只有一階進化的會提前一張牌)。
1. 「抽N張牌後湊齊主要combo的機率」
抽牌量 | 超夢Ex | 皮卡丘Ex | 火快攻 | 惡小人 | 尼多后 | 尼多后(2王) |
5 | 1.44 | 5.64 | 1.44 | 0.21 | 0.00 | 0.00 |
6 | 3.78 | 13.11 | 3.78 | 1.03 | 0.17 | 0.00 |
7 | 7.65 | 23.49 | 7.65 | 2.99 | 0.91 | 0.00 |
8 | 13.21 | 35.77 | 13.21 | 6.57 | 2.83 | 0.00 |
9 | 20.44 | 48.65 | 20.44 | 12.10 | 6.57 | 0.00 |
10 | 29.14 | 60.91 | 29.14 | 19.68 | 12.61 | 0.04 |
11 | 38.95 | 71.61 | 38.95 | 29.14 | 21.10 | 0.19 |
12 | 49.43 | 80.24 | 49.43 | 40.05 | 31.82 | 0.66 |
13 | 60.05 | 86.74 | 60.05 | 51.78 | 44.16 | 1.82 |
14 | 70.27 | 91.38 | 70.27 | 63.60 | 57.22 | 4.26 |
15 | 79.57 | 94.60 | 79.57 | 74.72 | 69.97 | 8.85 |
16 | 87.49 | 96.84 | 87.49 | 84.42 | 81.36 | 16.64 |
17 | 93.68 | 98.42 | 93.68 | 92.11 | 90.53 | 28.77 |
18 | 97.89 | 99.47 | 97.89 | 97.37 | 96.54 | 46.32 |
19 | 100.00 | 100.00 | 100.00 | 100.00 | 100.00 | 70.00 |
20 | 100.00 | 100.00 | 100.00 | 100.00 | 100.00 | 100.00 |
從圖中可以看出,皮卡丘Ex湊齊combo的速度可謂碾壓眾生(35.77%),連相對穩定的超夢及火快攻(兩者相疊)在第8張牌時都只有皮卡丘的一半機率(13.21%),而2+3牌組又只有超夢的一半(6.57%),可憐的尼多后則是沒把牌庫抽乾基本上是別想一妻多夫的。
2. 「抽N張牌後仍無法完成任一條進化鏈的機率」
抽牌量 | 超夢Ex | 皮卡丘Ex | 火快攻 | 惡小人 | 尼多后 | 尼多后(2王) |
5 | 50.89 | 20.72 | 66.15 | 76.74 | 88.36 | 94.18 |
6 | 41.12 | 13.11 | 54.04 | 65.61 | 79.07 | 89.45 |
7 | 32.01 | 7.83 | 42.34 | 53.65 | 67.53 | 83.29 |
8 | 29.89 | 4.37 | 31.72 | 41.77 | 54.72 | 75.87 |
9 | 16.99 | 2.25 | 22.61 | 30.79 | 41.77 | 67.39 |
10 | 11.41 | 1.05 | 15.21 | 21.31 | 29.79 | 58.09 |
11 | 7.16 | 0.43 | 9.54 | 13.69 | 19.61 | 48.26 |
12 | 4.12 | 0.14 | 5.49 | 8.02 | 11.71 | 38.23 |
13 | 2.11 | 0.04 | 2.82 | 4.17 | 6.18 | 28.40 |
14 | 0.92 | 0.01 | 1.23 | 1.83 | 2.74 | 19.27 |
15 | 0.31 | 0 | 0.41 | 0.62 | 0.93 | 11.42 |
16 | 0.06 | 0 | 0.08 | 0.12 | 0.19 | 5.39 |
17 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1.58 |
18 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
19 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
20 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
反過來看手牌完全卡死的機率差距又更加明顯,由於皮卡丘Ex牌組只要抽中皮卡丘Ex / 閃電鳥Ex就會被視為有戰鬥力,所以卡死機率從開場就只有20%左右。比較第八張牌,由於火快攻相對超夢而言是需要找到進化型的所以比超夢略慢一些,2+3牌組依舊有接近超夢兩倍的卡手機率。至於那個尼多后...就別再鞭屍了吧?!
五、結語
由於為了將問題單純化,以上計算並未考慮牌組中抽濾的可能,所以達成combo機率理論上會略高一些而卡手機率略低一些。我們可以將抽到博士近似於將抽牌張數向前推進2,以中期的超夢牌組而言就相當於將湊齊combo機率提高近20%,而寶貝球這種檢索則太過複雜無法很好的計算,或許有興趣的人可以試試。另外這兩個問題設定都無法當作評判牌組強弱的唯一標準,如火快攻其實只要完成某一隻進化鏈就有一定戰鬥能力,並沒有湊齊combo的質變;而第二個問題則是把基礎及一階視為完全無用,但如蜈蚣王的一階車輪毬其實是很重要的中毒觸發器,並不是完全無用,也因此該牌組其實並不如數據上的表現糟糕。總結以上,即便已知2+3牌組的湊齊機率只有1+3一半而卡手機率是人家兩倍,你卻無論如何都想試試時,需要考慮的是 1. 我的進化鏈分開有戰鬥能力嗎? 2. 我的基礎 / 一階寶可夢有戰鬥能力嗎?若答案皆否卻還執意要玩,我只能說,我欣賞你對自己右手的自信。以上,希望對大家組牌有幫助,我們下次見。