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GP 79

【攻略】總是卡滿手?用機率告訴你為什麼不該組2+3!

樓主 Nyms jimd12275
一、引言

牌組構築是在卡牌遊戲中相當有趣的一環。雖然在ptcgp中能放入的牌只有少少的20張,但怎麼分配其中不同類型卡片的比例也會大大影響牌組的順暢程度。這篇文章想要探討「放入牌組中的進化鏈長度與卡手機率」的關係。


二、問題定義

我定義了兩種不同情況,「抽N張牌後湊齊主要combo」及「抽N張牌後仍無法完成任一條進化鏈」,並分別計算不同牌組在整個遊戲進程中這兩項機率的變化。

1. 「抽N張牌後湊齊主要combo」
目前的主流牌組中都有「湊齊了特定combo後毀天滅地」的特性,如經典的超夢沙奈朵只要做出來就可以開始150連發;又或者是像近期的時拉比君主蛇有沒有做出來強度天差地別。在此我將此情況定義為,湊齊該牌組內的主要進化鏈的機率,如超夢沙奈朵就會是「超夢+拉魯拉絲+奇魯莉安+沙奈朵」,而不會考慮額外塞的無論是普超夢或夢幻Ex。在此條件下皮卡丘Ex算是唯一的例外,所以我將他的combo條件設定為抽到「皮卡丘Ex+任三張電屬基礎寶可夢」。

2. 「抽N張牌後仍無法完成任一條進化鏈」
我們在遊戲進行中常常會遇到一種情況:手上滿是道具、支援者、或是另外一條進化鏈的一二階進化型,雖然場上已經鋪了基礎寶可夢卻一點戰鬥力都沒有。這個情況在所有寶可夢都需要進化才有戰鬥力的牌組中影響巨大,如火快攻的烈焰馬+九尾、鬥牌嘎拉+穿山王等。由於超夢Ex及時拉比Ex本身即具有戰鬥能力,因此我將類似情況的Ex寶可夢視為單一完整的進化鏈,意即抽到超夢Ex即視作完成一條進化鏈。


三、方法

針對兩種不同情況,我們可以用高中學過的排列組合來計算發生的機率。為了符號簡潔,我後面會用大寫英文當作單卡名稱。

1. 「抽N張牌後湊齊主要combo的機率」
假設我們有一組combo需要A, B, C三張牌各至少一張,牌組上限為20張且每張牌在牌組內各兩張。

P(抽到完整 combo) = P(至少一張 A ∧ 至少一張 B ∧ 至少一張 C)

熟悉機率計算的看到至少會反射性地換成 (1 - 沒抽到),因此我們可以代換成:

P(抽到完整combo) = 1 - P(沒抽到 A ∨ 沒抽到 B ∨ 沒抽到 C)

由於上述描述並非各自獨立,所以將括號拆開時要補上兩兩交集:

P(抽到完整combo) = 1 - P(沒抽到 A) - P(沒抽到 B) - P(沒抽到 C) + P(沒抽到A沒抽到B) + P(沒抽到A沒抽到C) + P(沒抽到B沒抽到C) - P(沒抽到A沒抽到B 沒抽到C)

而沒抽到A的機率相當於在所有可能性中(20張抽N)去除掉2張A(18張抽N):

P(沒抽到 A) = C(18, N) / C(20, N)
P(沒抽到A沒抽到B) = C(16, N) / C(20, N)
...

如果我們需要的combo需要同類型牌組兩張以上,則可將公式擴展成:

P(抽到兩張以上A) = 1 - P(沒抽到A) - P(只抽到一張A)

以此類推,就可以算出抽N張牌時,湊齊特定combo的機率為多少。

2. 「抽N張牌後仍無法完成任一條進化鏈的機率」
由於前述已經計算湊齊特定combo的機率,因此我們只要將單一條進化鏈帶入以上算法再用1去扣即為所求。同樣的,如果有多條進化鏈我們展開時也需要補回交集的部分。

P(無法完成任一條進化鏈) = 1 - P(湊齊進化鏈1) - P(湊齊進化鏈2) + P(湊齊進化鏈1 ∧ 湊齊進化鏈2)


四、實驗

我從幾種不同進化鏈長度組合中各自挑了一個牌組做為代表,1+3的超夢Ex、2+2的火快攻、2+3的雙彈蜈蚣王、3+3的尼多后、以及比較特例1+1+2的皮卡丘Ex。其中尼多后分成一王一后及二王一后兩種版本。由於遊戲開局會抽5張牌,所以我羅列開場5張至抽乾20張時的機率變化。其中,我特別標出了理論上最速進化的第8張牌(只有一階進化的會提前一張牌)。

1. 「抽N張牌後湊齊主要combo的機率」

抽牌量 超夢Ex 皮卡丘Ex 火快攻 惡小人 尼多后 尼多后(2王)
5 1.44 5.64 1.44 0.21 0.00 0.00
6 3.78 13.11 3.78 1.03 0.17 0.00
7 7.65 23.49 7.65 2.99 0.91 0.00
8 13.21 35.77 13.21 6.57 2.83 0.00
9 20.44 48.65 20.44 12.10 6.57 0.00
10 29.14 60.91 29.14 19.68 12.61 0.04
11 38.95 71.61 38.95 29.14 21.10 0.19
12 49.43 80.24 49.43 40.05 31.82 0.66
13 60.05 86.74 60.05 51.78 44.16 1.82
14 70.27 91.38 70.27 63.60 57.22 4.26
15 79.57 94.60 79.57 74.72 69.97 8.85
16 87.49 96.84 87.49 84.42 81.36 16.64
17 93.68 98.42 93.68 92.11 90.53 28.77
18 97.89 99.47 97.89 97.37 96.54 46.32
19 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 70.00
20 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00

從圖中可以看出,皮卡丘Ex湊齊combo的速度可謂碾壓眾生(35.77%),連相對穩定的超夢及火快攻(兩者相疊)在第8張牌時都只有皮卡丘的一半機率(13.21%),而2+3牌組又只有超夢的一半(6.57%),可憐的尼多后則是沒把牌庫抽乾基本上是別想一妻多夫的。

2. 「抽N張牌後仍無法完成任一條進化鏈的機率」
抽牌量 超夢Ex 皮卡丘Ex 火快攻 惡小人 尼多后 尼多后(2王)
5 50.89 20.72 66.15 76.74 88.36 94.18
6 41.12 13.11 54.04 65.61 79.07 89.45
7 32.01 7.83 42.34 53.65 67.53 83.29
8 29.89 4.37 31.72 41.77 54.72 75.87
9 16.99 2.25 22.61 30.79 41.77 67.39
10 11.41 1.05 15.21 21.31 29.79 58.09
11 7.16 0.43 9.54 13.69 19.61 48.26
12 4.12 0.14 5.49 8.02 11.71 38.23
13 2.11 0.04 2.82 4.17 6.18 28.40
14 0.92 0.01 1.23 1.83 2.74 19.27
15 0.31 0 0.41 0.62 0.93 11.42
16 0.06 0 0.08 0.12 0.19 5.39
17 0 0 0 0 0 1.58
18 0 0 0 0 0 0
19 0 0 0 0 0 0
20 0 0 0 0 0 0

反過來看手牌完全卡死的機率差距又更加明顯,由於皮卡丘Ex牌組只要抽中皮卡丘Ex / 閃電鳥Ex就會被視為有戰鬥力,所以卡死機率從開場就只有20%左右。比較第八張牌,由於火快攻相對超夢而言是需要找到進化型的所以比超夢略慢一些,2+3牌組依舊有接近超夢兩倍的卡手機率。至於那個尼多后...就別再鞭屍了吧?!


五、結語

由於為了將問題單純化,以上計算並未考慮牌組中抽濾的可能,所以達成combo機率理論上會略高一些而卡手機率略低一些。我們可以將抽到博士近似於將抽牌張數向前推進2,以中期的超夢牌組而言就相當於將湊齊combo機率提高近20%,而寶貝球這種檢索則太過複雜無法很好的計算,或許有興趣的人可以試試。另外這兩個問題設定都無法當作評判牌組強弱的唯一標準,如火快攻其實只要完成某一隻進化鏈就有一定戰鬥能力,並沒有湊齊combo的質變;而第二個問題則是把基礎及一階視為完全無用,但如蜈蚣王的一階車輪毬其實是很重要的中毒觸發器,並不是完全無用,也因此該牌組其實並不如數據上的表現糟糕。總結以上,即便已知2+3牌組的湊齊機率只有1+3一半而卡手機率是人家兩倍,你卻無論如何都想試試時,需要考慮的是 1. 我的進化鏈分開有戰鬥能力嗎? 2. 我的基礎 / 一階寶可夢有戰鬥能力嗎?若答案皆否卻還執意要玩,我只能說,我欣賞你對自己右手的自信。以上,希望對大家組牌有幫助,我們下次見。
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