LV. 32
GP 546

RE:【心得】X平方加Y平方等於3居然可以完美避開所有有理數

樓主 叭布 bobson860412
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其實不定方程的基本解法不外乎兩種
一個是比大小 一個是模質數的冪次
數論學家習慣把這兩件事統一看成是把有理數放在不同的place
place指的是Q上滿足某些性質的"距離"形成的等價類

place又分為兩種
一種是archimedean(相當於把Q放進R)
這種情況下的距離就是一個有理數的絕對值
另一種是non-archimedean(相當於把Q放進Q_p)
這種情況下一個有理數有越多p的因子就離0越近
這兩種place分別就對應到比大小模質數冪次的概念

所以你會覺得他能避掉3很神奇
而避掉-1不神奇
是因為你一直考慮的是archimedean place
x^2+y^2=-1在R上是顯然無解的
但是如果你考慮把Q放在non-archimedean place,例如2-adic的話
x^2+y^2=3在Q_2的世界裡就是顯然無解的

著名的Hasse-Minkowski定理說
一個Q上的二次型有解
若且惟若他在所有的place都有解
但是這到三次以上就不成立了
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