LV. 33
GP 1k

RE:【密技】自製一個簡單的抽卡機率統計小工具 猶豫抽卡的玩家可以進來參考

樓主 光光‧阿狗‧坎培爾 eddysos
GP10 BP-
※ 引述《rayang (逢魔京介)》之銘言
> 昨天看到一則討論蠻熱烈的
> 【問題】想抽拳皇的玩家請三思...
> 其中討論的蠻熱烈的一點就是機率
> 有鑑於我數學不好 機率不會算

樓主都貢獻模擬了~這邊提供一點學理上的驗證,這邊就簡單利用樓主的假設:
A:抽中機率為5.95%
B:抽中機率為2.96%
C:抽中機率為5.95%

假設「事件A」為:「40抽內抽中至少一張A」
「事件A」的機率等即為「1-(1-5.95%)^40」=91.40%       (也就是1減40抽完全沒抽中A的機率)
同理
「事件B」的機率等即為「1-(1-2.96%)^40」=69.94%
「事件C」的機率等即為「1-(1-5.95%)^40」=91.40%

接下來就是貝氏應用了(假設事件A、B、C均相互獨立):
以下沿用樓主產出的表格順序方便對照

沒有A(模擬數:843)(期望值:860)
機率計算:非事件A
1-91.4%=8.60%

沒有B(模擬數:3019)(期望值:3006)
機率計算:非事件B
1-69.94%=30.06%

沒有C(模擬數:865)(期望值:860)
機率計算:非事件C
1-91.4%=8.60%

沒有AB(模擬數:247)(期望值:239)
機率計算:非事件A或事件B
1-(A+B-A且B)=1-(91.4%+69.94%-91.4%*69.94%)=2.58%
機率計算:(非事件A)且(非事件B)
(1-5.95%-2.96%)^40=2.39%               (40抽完全沒抽中AB的機率)

沒有BC(模擬數:248)(期望值:239)
機率計算:非事件B或事件C
1-(B+C-B且C)=1-(69.94%+91.4%-69.94%*91.4%)=2.58%
機率計算:(非事件B)且(非事件C)
(1-5.95%-2.96%)^40=2.39%

沒有AC(模擬數:57)(期望值:63)
機率計算:非事件A或事件C
1-(A+C-A且C)=1-(91.4%+91.4%-91.4%*91.4%)=0.74%
機率計算:(非事件A)且(非事件C)
(1-5.95%--5.95%)^40=0.63%

ABC都沒有(模擬數:20)(期望值:16)
機率計算:非事件A或事件B或事件C
1-(A+B+C-A且B-B且C-A且C+A且B且C)
=1-(91.4%+69.94%+91.4%-91.4%*69.94%-69.94%*91.4%-91.4%*91.4%+91.4%*69.94%*91.4%)=0.22%
機率計算:(非事件A)且(事件B)且(事件C)
(1-5.95%-2.96%-5.95%)^40)=0.16%        (40抽完全沒抽中ABC的機率)

ABC都有(模擬數:5805)(期望值:5800)
機率計算:事件A且事件B且事件C
A且B且C=91.4%*69.94%*91.4%=58.43%
機率計算:事件A且事件B且事件C
A且B且C
=A+B+C-A或B-A或C-B或C+A或B或C
=A+B+C-(1-非A且非B)-(1-非A且非C)-(1-非B且非C)+(1-非A且非B且非C)
=91.4%+69.94%+91.4%-(1-2.39%)-(1-2.39%)-(1-0.63%)+(1-0.16%)=58.0%

可以看得出一萬次模擬的結果,推估出的機率其實已經相當接近學理的機率了。也驗證了樓主所寫的模擬小程式應該有相當正確性(沒有BUG)。

但話說回來,這也是因為這個機率試算並不繁雜,所以可以很白話的寫出算式,然而在實務上,其實很多情境並不是那麼容易用算式表達的,模擬的作法雖然有點暴力XD,但也不失為一種估算的方法。

喔~差點忘了幫樓主說明,模擬做法雖然暴力,但他不是沒有理論背景的,那就是「大數法則」。這樣不知道有回答到樓上的疑問嗎?

內文更正於2017/9/20
原因:

主要是由於事件A、B、C實際上並非獨立,故前次計算假設會有誤導的可能,小弟在此決定還是將其修正。

巴友們仍可能會存在幾個疑問?

事件A與事件B難道不是獨立的嗎?」
我們所計算的,是同一個人的抽卡統計,當其抽到一張A的時候,這代表已使用一次抽卡資源,故在有限資源下,抽到A的次數越多,連帶抽到B的機會也因此壓縮。故A、B事件其實彼此是具備相關性的。

假設事件彼此有無獨立,計算的結果好像差異不大?」
那是因為影響其差異的原因有二:
一:抽中A、B、C的機率越小,則差異越小。
二:抽卡次數越多,則差異越小

此試算的假設情境剛好兩者均滿足,所以才會有差異不大感覺,但不管如何,拿一個估算的結果去驗證模擬,的確存有瑕疵,故特此更正。

「關於那個貝式定理......」
......很抱歉是小弟誤用定理名稱了,貝氏定理是在處理條件機率時使用的,此部分比較偏向集合計算時的「排容原理」以及「德摩根定理」,如果對這兩個名詞很陌生,可以改Google一下「范氏圖」或是「文氏圖」,印象是國高中的數學課程,這樣會比較有容易了解本文的計算方法

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