LV. 17
GP 867

【密技】遊戲機制的數字分析

樓主 mono SugarDaddie
GP23 BP-

作者標示-非商業性

本授權條款允許使用者重製、散布、傳輸以及修改著作,但不得為商業目的之使用。使用時必須按照著作人指定的方式表彰其姓名。


前言:

    我從HomeComing(簡稱HC)回坑的時候就有一些想法,醞釀了很久。

    HC的更新增加了費用這個性質,我認為這個項目是一個很重要的平衡基準,任何卡牌都可以用性價比來參考,許多掀桌等級的卡片受到了限制,大大提升了遊戲平衡。

    HC初期,我剛回坑,看數字就能發現有很多卡牌不平衡,出於潔癖完全不想使用,例如當初的三基佬、Roach、雙獨角獸。

    這類性價比過高的卡片在現代也是有,但都被當作各陣營的權力。中立的卡片就算很高效萬用,但也不是所有牌組都適用。例如Decree、Matta。我在今年一月底,第二次回坑以後,就覺得這遊戲的平衡比以前更好了。

    以下就是我對於這個遊戲機制的看法與分析。

    另外,歡迎加入台灣昆特Discord群組一起討論。


目錄
————————————————————











23
-
LV. 17
GP 877
2 樓 mono SugarDaddie
GP5 BP-
決鬥


    關於決鬥的機制,遊戲中我們只關心兩種問題:

    1、讓兩個敵人單位決鬥該如何最大化收益?
    2、我的單位發動決鬥該如何最大化收益?



    先給出懶人包答案
    1、兩個敵人決鬥,戰力比愈接近黃金分割比,收益愈大。
    2、我的單位找敵人決鬥,敵方單位的戰力(血量)要介於「承受第一下傷害剛好死掉」與「承受第二下傷害剛好死掉」之間,或是敵方單位血量界於我方單位血量的1到1.5倍之間,最大收益等於發動決鬥單位的點數




    以下有興趣再繼續看,後面都是證明。




-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    第一個問題的結論,與黃金分割比例有關(α=1.618...),需要用到斐波那契數列,所以我先用word文件截圖說明其基礎。

    
--------------------------------------------------------------------------------

    沿用上面的符號,以下說明存活血量的比例是有界的,且兩種數列會跑向同一個極限。

--------------------------------------------------------------------------------

    
--------------------------------------------------------------------------------

    第一個問題,敵方兩個單位決鬥,該如何最大收益?

--------------------------------------------------------------------------------

    

     兩個序列分別在α的兩端,所以x不可能同時屬於兩種序列,只有在k極大的時候兩個序列才會接近α,所以盡量取兩個單位的比例接近α( 黃金比例1.618 : 1 )即可。


--------------------------------------------------------------------------------


    第二個問題,我方單位發動決鬥,該找哪種戰力(血量)的敵方單位可以最大化收益?


--------------------------------------------------------------------------------




    k=1的意義就是敵方單位吃我第二次傷害會死掉,吃我第一次傷害不死(或剛好死掉)。

    這裡很簡單,仔細想想就可以知道了,但是有時候還是會被迷惑到。



    舉個例子,我方把安賽斯王子增益到8點的戰力,敵方有兩個非引擎單位,分別為7點與12點。

    打7點的單位,收益 = 7。
  
    打12點的單位,收益 =12 - (8-(12-8)) = 8 。

    純粹就點數考量,該打12點的單位。(我知道有很多玩家會選擇打7)

    但是打牌的時候沒有那時間加加減減慢慢判斷。

    有一個簡單的判斷方法,就是:敵方單位血量界於我方單位血量的1到1.5倍之間。
5
-
LV. 17
GP 899
4 樓 mono SugarDaddie
GP3 BP-
Mulligan(調度)


    好像都翻譯為調度,總之就是換牌的機會,先假設玩家沒有特殊需求,就只是單純想把低費牌調走,留下高費牌。

    當下想探討每個調度動作可以換成多少費用的期望值,以及長短局是否對調度效率有影響。

    因為積分很麻煩,為了方便,假設玩家的牌組(每輪開始時剩餘手牌與牌堆)費用分佈為X~unif(a,b)

    這種模型與實際情況差很多,首先,很多牌組不能用均勻分布概括,其次,「剩餘手牌與牌堆」的分佈也會受到上一輪的出牌方式而影響,手牌與牌堆會有不同(嚴格說起來只有發牌的時候一樣),但為了方便,全部假設一樣,只為了讓模型簡單(我只會算這種)。

    這n個樣本是手牌,當下我想把最小的調度走,增加的費用量為

    這個數字可以看出兩件事。

    首先,牌組的標準差愈高,調度的效率愈高。所以自己組牌的時候,想要讓調度更高效,可以多帶極高費用的王牌。

    其次,當下所剩的手牌n,可以視為此輪的長局潛力,由此可知,n愈高,調度的效率愈高,這點說明了,剩餘手牌數量愈多,調度效率愈高。

    舉例說明,幾乎沒有濾牌的牌組,最喜歡的情況就是,前兩輪都只有短短3回合,最後一回合則長達10回合以上。

    所以,當遇到長局牌組時,若看到對面的長局組件而不敢拚第一輪,早早放棄,通常是對面最想遇到的情況。(現在市面上長局牌組的濾牌量通常帶得不多)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


   2020/4/15,補充一點,考慮均勻分配的形狀不符合昆特常用的牌組費用分配,指數分配比較像牌組費用的分佈。
    
    最低費用為a,總費用固定。


    結果也一樣,標準差愈大或n愈大,調度效率愈高。


3
-
LV. 13
GP 22
5 樓 加藤老婆 智乃女兒 pythonforgam
GP1 BP-
佬,請問一下,如果不帶抽濾,一張牌沉底的機率是56%嗎?

我剛剛算的不知道對不對
1
-
LV. 17
GP 927
6 樓 mono SugarDaddie
GP2 BP-
濾牌



    我所認知的濾牌,任何方法,只要把牌堆中的牌挪動到其他地方,都是濾牌。

    包含了:棄一張牌抽一張牌、打一張牌抽一張牌、從牌堆抓出打出、從牌堆召喚 等等

    為了方便分析,先忽略調度的影響,只看濾牌。

    假設戰力能發揮出等同或多於其費用,就算是高效率(或高性價比)。

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    用壓縮牌組的觀點,把相關的濾牌壓縮為一張牌,並扣除該壓縮的總費用。

    假設牌堆數=N,該壓縮的濾牌數=n (也就是把n+1張牌壓縮為1張)。

    愈使此濾牌有效率,則須使 「壓縮後的平均費用」 >  「壓縮前的平均費用」

    (總費用 - 該壓縮的費用和 + 該壓縮的效益) / (N-n)   >   總費用 / N

    化簡後可得: ( 該壓縮的費用和 - 該壓縮的效益 ) / n  <  總費用 / N  = 平均費用

    ( 該壓縮的費用和 - 該壓縮的效益 ) / n 則代表平均濾牌消費。例如傳送門濾兩張4費,計算式為(13+4+4-4-4) / 2 = 6.5。

    因此只要平均濾牌的耗費 < 平均費用,就是有效率的濾牌。


2
-
LV. 19
GP 983
7 樓 mono SugarDaddie
GP2 BP-
調度與濾牌之間的影響

   

    根據前面的結果,調度的效率與當下的標準差成正比。

    把調度與濾牌結合分析的部分,因為濾牌方式的種類太多,沒辦法用單一原則去分析。

    但大概想想就能知道,大多數濾牌效果,都會降低標準差。

    簡略舉例。



    1、

    如果有一種濾牌,平價的濾,沒有CarryOver,也沒有消耗未來潛力,則標準差不變,例如:用Ermion拉出蠍藥、Raiding fleet拉出戰船、John Natalis拉出滾油。

    如果是帶有Carryover性質的卡,例如傳送門,13費拉出4+4(或許因為有雙引擎,點數再多一),當下大約是一張9費的卡,而本身的位置是13費,這張牌很明顯降低了標準差,也使整體調度效率降低了。

    根據變異數的特性(方均減均方),拉牌的發動牌,如果愈高,降低的標準差也會愈多。


    t 為CarryOver的耗費(例如傳送門13只能拉出8,那麼 t 就是5)。

    CarryOver是指把效率留給未來的方式,在濾牌的類型當中,最簡單的就是濾出垃圾,例如棄牌。

    因為是發動牌的費用,一定比 t 高,如果也比平均數高,則變異數是降低的,調度效率降低。
    根據式子,t 最好不要太大,且最好不要比平均費用高太多(甚至低於平均更好),這樣才能有效配合調度。

    現在這個時代是調度為王的,濾牌都以低價平價為主(群島的烏鴉或Raiding fleet),高費濾牌(傳送門、Roche)因為會影響調度效率,強度都不如純調度。


    2、

    Royal Decree這張牌,假設玩家都是拿來拉牌堆中最大的牌,只考慮尚未使用的時候,牌局愈後期,decree的效益愈低,如果拖到最後一輪,甚至有可能拉出來的不滿10點。但是如果愈前期用,當下效益極高,消耗的卻是牌堆中的巨金潛力。

    喜歡放在後期用,降低標準差,降低整體調度效益。喜歡放在前期用,降低未來調度效益。

    從這點看來,這張卡不夠好,但我說的前提根本就是錯的。

    因為Decree這張牌的用法,並不是單純去抓一張大點數。而是根據場面去抓取當下的超模卡。例如:炸彈手、亞登、淨化。

    手上有各種變化去針對場面的牌組通常都會帶Decree,如果不是這類,Decree的效益不高。


    3、

    會自動跳出來的東西,例如Knickers、Roach。

    這種東西的點數就平均分攤到有可能觸發他們的牌上來計算。

    以Roach來說,牠把10的那個位置變成只有3戰力,遇到都會調走,而全部的金卡平分多出來的3點。平均點數降低,但是標準差變大。但數據上的調度效益只是體現出臉黑抽到手的天堂地獄差別,並沒有對其他手牌的調度真的有幫助。而降低的平均點數也是平白吃虧。

    通常只有特殊打法的牌組才會帶這類型的濾牌。(例如Lippy)
2
-
LV. 19
GP 984
8 樓 mono SugarDaddie
GP2 BP-
競技場


    先自推我的競技場建議

    競技場通常達到幾勝才算強?大家平均都幾勝?

    先假設玩家沒有棄權。都會打完。

    一場對局會產生1勝與1敗。所以總體勝場數=總體敗場數。

    那麼平均勝場數 = 平均敗場數。

    問題就簡化為探求平均玩家平均敗場為多少。

    很明顯,因為3敗淘汰制。所以平均敗場數一定不可能大於3。

    到這裡就能很明確的知道大家的平均勝場數會比3小一點點。

    在添加一個假設,如果所有玩家對局都是勝率持平,那麼用期望值去算的出的結果就是2.95459。

    0敗:機率為0.5^9。
    1敗:9勝1敗。因為最後一場必定是勝利,所以有9種排列方式,機率為9*0.5^10。
    2敗:9勝2敗。因為最後一場必定是勝利,所以有10*9/2=45種排列方式,機率為45*0.5^11。
    3敗:把前兩者的機率用1去扣除。機率為1-0.5^9-9*0.5^10-45*0.5^11。
    期望值:1*(9*0.5^10)+2*(45*0.5^11)+3*(1-0.5^9-9*0.5^10-45*0.5^11)=2.95459

    大家的平均勝場大約就是2.95459,如果有人中途棄權,那就更低了。

    不用再覺得:「我好弱喔,競技場平均只有5勝。」


2
-
LV. 19
GP 984
9 樓 mono SugarDaddie
GP2 BP-
價值估計



完全不帶濾牌與檢索,只靠調度找一張卡:

    首輪抽10張,關鍵牌沒到手的機率是1-[C(24,9)/C(25,10)]=0.6
後手有2次調度機會,沒抽到的機率=0.6*(14/15)*(13/14)=0.52
先手有3次調度機會,沒抽到的機率=0.6*(14/15)*(13/14)*(12/13)=0.48

    如果首輪沒抽到 且 完全不濾,次輪牌堆15張抽3張,關鍵牌沒到手的機率=1-[C(14,2)/C(15,3)]=0.9
再考慮2次調度機會,沒換到手的機率=0.9*(11/12)*(10/11)=0.75

    如果前兩輪都沒抽到,末輪沒到手的機率 = 1-[C(8,2)/C(9,3)]=2/3
再考慮2次調度機會,沒換到手的機率=(2/3)*(8/9)*(7/8)=14/27

    後手不濾,到最後一輪王牌沉海底的機率=0.52*0.75*(14/27)= 20.22%

    先手不濾,到最後一輪王牌沉海底的機率=0.48*0.75*(14/27)= 18.67%


Bribery:

    從對面牌組中選3張單位,假設大家永遠選最高費用。

    取牌組分布為指數分布,最接近低費多的形狀。因為最低費為4費,所以向右平移4格,後面講的平均費用都要扣除4再比較。


    此處可得知買通可以有11/6倍的平均費用。

    扣除重複的銅卡、所有法術卡以後,通常牌組的平均費用都在7費到7.5費之間。如果是少單位牌組,平均費用可能會低到6.5費。

    假設總費用都是165,平移後的平均費用7-4=3 或 7.5-4=3.5。

    4+2.5*11/6 = 8.58。
    4+3*11/6 = 9.5。
    4+3.5*11/6 = 10.42。

    8費的Bribery,可拿到的普通牌組的單位期望值大約在9.5費~10.42費之間。(但是不一定能用)

    如果遇到特殊卡偏多,且高費法術多的牌組,最低可能會只有8.58費。 (例如Nature's Gift)



2
-
未登入的勇者,要加入 10 樓的討論嗎?
板務人員:歡迎申請板主

face基於日前微軟官方表示 Internet Explorer 不再支援新的網路標準,可能無法使用新的應用程式來呈現網站內容,在瀏覽器支援度及網站安全性的雙重考量下,為了讓巴友們有更好的使用體驗,巴哈姆特即將於 2019年9月2日 停止支援 Internet Explorer 瀏覽器的頁面呈現和功能。
屆時建議您使用下述瀏覽器來瀏覽巴哈姆特:
。Google Chrome(推薦)
。Mozilla Firefox
。Microsoft Edge(Windows10以上的作業系統版本才可使用)

face我們了解您不想看到廣告的心情⋯ 若您願意支持巴哈姆特永續經營,請將 gamer.com.tw 加入廣告阻擋工具的白名單中,謝謝 !【教學】