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GP 26k

【情報】1+2+3+4+5...加到無限大等於-1/12

樓主 光山-Kohinoor tcss0612
GP23 BP-

作者標示-非商業性

本授權條款允許使用者重製、散布、傳輸以及修改著作,但不得為商業目的之使用。使用時必須按照著作人指定的方式表彰其姓名。

這個問題應該滿多人看過的,全體自然數的和居然是-1/12!?

3藍1棕的youtube頻道有深入研究過這個問題,bilibili上面有漢化過的版本,分享上來給大家看看。

黎曼ζ函数与解析延拓的可视化




我的個人理解是這樣啦:
黎曼ζ函数就是無窮等比級數的和。但是比值和次方都可以代入虛數。

0.數學講求定義 很多事情在定義範圍以外就沒意義 但是數學家又很愛打破定義
解析研拓研究的就是要怎麼把本來定義在小範圍內的函數 打破定義延伸到更大的範圍裡面 用來對付本來【沒有意義所以無解】的問題

1.把s=-1 就會變成1+2+3..... 這樣會發散 對發散數列求和沒有意義  黎曼想要把這個問題延伸出去 他的方法就是 不然我們讓比值可以是虛數好了!

2.如果把這個問題搬到虛數空間裡面 如果你允許讓 s=i 讓一個數字可以相乘虛數次
就會發現圖形長這樣 黃色線是1/2 右半邊是會收斂的 左半邊是會發散 被認為沒有意義的區域(所以沒有畫出來)

3.這個黎曼ζ函数的圖樣很明顯是左右對秤的 用微積分就可以證明他是左右對稱的
右半邊的收斂數列和人類可以理解
但是這些規率在左半邊的發散數列裡面也存在 只是人類沒辦法理解

4.如果不管那麼多 總之我是信了 依照這個方法計算發散數列的和 就會得出1+2+3+4....=-1/12的結論
這個計算方法稱為拉曼努金和 就是相信次方可以是虛數次 黎曼函數的左半邊真的存在 而且算出來的數值有意義 相信這些事情下求出的答案 就是-1/12。

5.然後量子力學裡面會用到。把無窮多的波函數加起來之後的大小剛好就是-1/12。這個結論被用來解釋為甚麼無限多個的可能性相加之後不會變成無限大。
這邊有練習題和詳解:

6.黎曼猜想就是:除了X軸(實數軸)之外,只有在黃色的分界線/左右對秤線上和才有可能是0。
這個問題當然還沒有解答,但是看起來好像就是對的。不明覺厲。


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LV. 18
GP 251
4 樓 神音涵 a22551136
GP3 BP-
就是因為100年前都像隨風漂泊的人很多,
偉大的康托爾才死這麼慘的。

拜託希爾伯特多同情康托爾,
二十三問題第一個就是擺他的。

你那麼優秀要不要寫個
隨風漂泊的48763個問題
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LV. 26
GP 871
5 樓 K blueghost44
GP14 BP-
2樓用猜想的,在有很大矛盾的情形下,還能閉上眼睛自圓其說,真的很會,更厲害的是,有很多人陪他鬧了300多層留言......多一點愛與包容,世界會更好,為什麼討論都變嘲諷和互嗆呢?

我試著替2樓說出他的看法:

1. 級數收斂結果的等號只是近似值,其實等號不能真正成立。

2. 一個發散級數想要收斂,必然是將無窮級數巧妙的限制成有窮級數,給出一個確定值的N,即可得到一個對應的結果。

3. 自然數和等於-1/12,必然被限制了,得出的只是一個近似值的結果,不是真正發散級數之和。

以上3點皆為錯誤論述。

1. 無窮收斂級數的收斂結果即為其解。

2. 發散級數不會收斂。

3. 很明顯,不管怎樣去限制級數的次數,100次的和也好,或是101次的和,發散級數只會越來越膨脹,不可能近似-1/12,最接近的結果就是n=1的時候了,這個近似值的說法太唬爛,而且還要閉上眼睛說。

那為什麼會有這樣的式子列出來,這關係到一個函數的運用範圍,有關定義域與値域的問題。這個解在其實一開始是尤拉解出來的,黎曼再去發展成複數的型態,但沒有人真的認為自然數和為-1/12或是自然數平方和為0。

簡單來說,複數調和級數與實數調和級數不是同一個東西,你不能用複數的結果當作實數的結果。

具體說明請看李永樂老師的視頻:



李老師的科普非常淺顯易懂,推薦一下。
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LV. 27
GP 510
6 樓 哈哈哈哈哈 martin321
GP0 BP-
台大物理所路過
我真的很想加入二樓的討論
可是我看不懂他在供三小
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LV. 18
GP 257
7 樓 神音涵 a22551136
GP2 BP-
可以開放朝聖了嗎?
雖然我不清楚不可思議版的不可思議
需要些什麼條件。

還有雖然這裡不是場外,
但容我偷蓋個一樓,
致敬偉大的哲學家
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LV. 45
GP 16k
8 樓 秒速0.0198釐米 stillfiy0529
GP0 BP-
雖然那幾個探討此問題的影片都看過了
不過我還是不能理解
這個一直無限加下去的數字都是正的
直觀上最後不應該會是負的啊
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LV. 49
GP
10 樓 搞笑精 sr9665760
GP0 BP-
我覺得我該向數學老師道歉了
每樓我都很認真看
但全都看不懂...
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LV. 27
GP 2k
11 樓 無拘無束的燎原火 lamkasarce
GP1 BP-
說真的,就算數學上可以用數字跟符號證明某些事情是有道理的,但我就是很難理解為什麼:
"我今天吃了1顆蘋果,明天吃了2顆蘋果,後天吃了3顆蘋果,吃了很久以後,其實我並沒有吃到蘋果,而是奇妙的吐出了12分之一顆的蘋果~~~"
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如果這樣的說法成立的話,那我就想去銀行借錢:
"我今天借了1萬,明天借了2萬,後天借了3萬,借了很多次以後,其實我並沒有借錢,而是銀行還奇妙欠我12分之一萬的新台幣~~~"
---
這或許是另類的從數字端解釋了"為什麼欠債的是老大"的社會現實面?

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LV. 26
GP 876
12 樓 K blueghost44
GP3 BP-
說到量子力學和薛丁格的貓這件事,其實也是很有趣的,因為薛丁格其實是反對量子力學才提出這個貓的假設的,同樣反對量子力學的還有近代物理學大佬愛因斯坦,他說他不相信上帝會擲骰子決定事情。

簡單來說,這兩個大佬頭很鐵,他們不認同物理是用機率推估出來的,其背後應該有更根本的物理法則運作,量子力學是邪道。

所以雖然薛丁格導出了波函數,但是對量子力學,他只嗤笑了一聲,提出將貓跟輻射物放在一起,在箱中,依量子力學去計算,貓是死的又是活的,兩種狀態疊加,但是這根本扯蛋。

我是覺得這些科學家的小故事蠻有意思的。
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LV. 17
GP 890
15 樓 死王·愛西絲 X48253435X
GP0 BP-
感覺整理的很淺顯易懂(雖然我知道背後一定是定義嚴格/計算繁複/嚴謹證明/各種小技巧+公式推導),我只提一點點小想法,沒有根據
我認為數學就是藉由不斷的「捨棄」去得到一個跟現實「有關聯,但不確定是在哪裡」的數值,導致一個結果在不同的場合之下會有不同的解釋但根本上是相同的東西(剛學到微積分,用比喻來說有點像積分答案都會相同,但長的不同很容易看不出來的概念)

其實世界上最神奇的還是“等號”這個符號吧,由於被捨棄的細節過多導致我們在最後得出等號的結果會認為這兩項事物「完全相同」,但實際上在現實中概念是不同的
舉例來說就是1+1=2,左邊是指把1與1擺在一起,右邊則是代表有2,但這行為本身就不同,就現實來說假設是蘋果,2顆蘋果可能是一開始就放在那裡的,而1顆蘋果“+”1顆蘋果的行為卻沒有在2顆蘋果身上描述出來(+可能是由樹上掉下來/有人放著),如果後面還有算式然後只說最後結果是10,根本完全無法知道中途數量改變了幾次,數學就是這麼侷限的東西

結論來說,比起得出結果,也許明確知道自己在「常被忽略的什麼條件下」做了什麼計算才是最困難的吧
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LV. 4
GP 0
17 樓 風鈴 yukimikzr
GP5 BP-
朝聖。

但是我覺得又不能放着他,又看到有一些說看不懂的人,所以我整理了一下以上出現過的數學名詞。為了看起來比較易懂,我不會寫嚴格定義,所以會有少許偏差,請見諒。希望這篇文能協助大家理解上面本來不應出現的爭論,增添樂趣,請配合食用。事不宜遲,馬上開始!
===================================================
==基本知識==
本部分的目的是協助理解之後部分的名詞。

0.1 集 set
就是裝着一堆物件(元素element)的袋子。不分先後次序,重覆不算。
例子:{a, b, c, b, b} = {a, b, c} = {c, a, b}.
0.2 子集 subset
將一部分(或全部)大袋子裏面的元素裝起來的袋子,不能再裝其他物件。
例子:
{a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, b, c}都是{a, b, c}的子集。
{a, b, d}不是,{a, {b}}也不是。
[註]: 從任何大袋子中,都能甚麼都不拿出來,作一個空的袋子(空集empty set),所以空集是任何集的子集。
 
0.3 實數 real number
由於解釋起來太麻煩,先想像成所有只用0-9和小數點就能寫出來(不論長短)的數字。
其中實數可以比較大小(延伸閱讀:三一律Trichotomy)
例子:
1          0.55         5162.478414548763484             pi

0.4 虛數 imaginary number(我發現中途沒有人提這個字,還有人問)
先介紹虛數單位i:
方程x^2+1=0 沒有實根,但我們想它有根。
所以我們引入這個數i,作為這個方程的根。
換言之我們可以寫作i=sqrt(-1). 那方程的另一個根就是-i.
 
任何非零實數乘以i再加上任何實數,都是虛數
例子:
i           1+0.55i            6.35+i*pi         Re(z)+iIm(z)
Re(z)是實部real part,Im(z)是虛部imaginarypart。實部為0的虛數叫純虛數。
但憑甚麼i不是實數呢?
一種解釋是實數能比較大小,而虛數不能。

0.5 複數 complex number
複數包含所有實數和虛數。即是,實數集和虛數集都是複數集的子集。
例子:1          3i             1+2i         0
[註]: 複數集C的正式表述為: C = {a+bi: a, b are both real numbers}
 
 
0.6  絕對值absolute value/模modulus
兩個字都用於表示該數字與0的距離,絕對值多用於實數,模多用於複數。
例子:|0|=0(當然,0和0的距離是0)
           |-6|=6(當然,-6和0的距離是6)
將複數想成是平面上的一點,可以用畢氏定理計算複數的模(實數也適用):
例子:|3+4i|=5(3^2+4^2=5^2)
 
 
==分析篇==
1.0   無限infinity/無窮小infinitesimal
無限比任何實數都大。不是數字。
無窮小比任何正實數都小,但大於0。不是數字。
 
1.1   數列 sequence
也是一堆數,但有一定規律,而且次序很重要。
例子:
An = 1, 2, 3; Bn = 1, 3, 2; 但An=/=Bn.
Cn = 1, 2, 3, 4, …
Dn = 1, -1, 1, -1, 1, …
1.2   級數 series
把數列的數字全部加起來就是級數。
例子:
1+2+3
1+2+3+4+…
1+(-1)+1+(-1)+1+…

1.3   數列的極限 limit of sequence
一些無窮的數列在很後很後的項會趨近一個數,那個數就是數列的極限。
例子:
1, 1/2, 1/3, …; 數列的極限=0
1, 2, 3, 4, ...; 無限/不存在數列的極限
1, -1, 1, -1, 1, …; 不存在數列的極限
[註]: 數列的極限不是近似值。
例子:0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, …; 極限=1
Q: 後面能再加個9啊,永遠還差一點,怎會變1?
A: 這樣說吧,你後面能再加個9,已經代表你想的那個數沒有無限個9。
 
1.4   收斂convergence/發散divergence
分兩種:數列的和級數的,大同小異。我們只討論無窮數列和無窮級數。
如果數列有極限,就是收斂;否則發散。
如果級數的和是一個數,就是收斂;否則發散。
[註]: 數列收斂不代表級數收斂,
例子:調和級數harmonic series 1+1/2+1/3+1/4+…
 
==代數篇==
2.1 多項式 polynomial
以a0, a1, a2, …, an和1, x, x^2, …, x^n組成的級數a0 + a1x + a2x^2 +…+ anx^n.
使n趨近無限就能得到無窮級數。
例子:
3
1+x^17
1+x+x^2+…
[註]: 以整數作系數的多項式的集(其實也是環ring)記作Z[x](同理實數系數記作R[x]),下面會用。
 
2.2 根 root
當多項式=0時,符合這方程的所有數。
 
2.3 代數基本定理 fundamental theorem of algebra
詳細內容不解釋。
根據這項定理,多項式的n是多少,就有多少個複數根(重根會重覆計算)。
另外,根據這項定理,我們只用複數就能表示任何多項式方程的根。
所謂「複數使任何方程式都有根」其實是上面的意思,因為方程不一定有實根,但一定有複根。
 
2.4 高斯整數 Gaussian integer Z[i]
實部和虛部都是整數的複數。
例子:
1          3i             1+3i
0.6i就不是
記作Z[i]的原因:
Z[x] = a0 + a1x + a2x^2 +…+ anx^n, 其中aj都是整數
代i入x會得到
Z[i] = a0 + a1i + a2i^2 +…+ ani^n.
顯然,i^2=-1. 所以Z[i]會變成A+Bi的形式,而A和B都是整數。
 
 
==概率篇==
3.1 理論概率 theoretical probability
顧名思義,真的是理論上的概率。
例子:
一顆公平骰子,擲到某一面的概率是1/6.
連續擲到100次6的概率是(1/6)^101.
擲100次,在第99次和第100次擲到6的概率都是1/6.

3.2 實驗概率 experimental probability
顧名思義,要做實驗才會知道的概率。
例子:一顆骰子擲100次,其中47次是6,那擲到6的實驗概率就是47/100.
 
3.3平均值mean/期望值expected value
其實差不多,但期望值是理論概率的東西。
例子:擲100次骰子,全部數字加起來的平均,因為每面的理論概率都是1/6,所以期望值是[1(100/6)+2(100/6)+…+6(100/6)] /100= 3.5.
但實驗概率下,每個數字的概率都不一樣,平均值就會和期望值有偏差。
 
3.4 條件概率 conditional probability
在某事件必定出現的情況下,另一事件發生的概率。
例子:
在擲到16次1的情況下,我總共擲了100次骰子的概率。
在擲到16次1的情況下,我總共擲了15次骰子的概率(明顯是0)。
理所當然,兩者是不一樣的。
 
3.5 大數定律 law of large numbers
最簡單的說法:只要樣本夠多,平均值就會越接近期望值。
即是平均值收斂於期望值。
===================================================
說真的重新爬了一次文後,真的沒想到比我想像中要牽涉到的名詞更多。
打得很累,可能會有錯處,請告訴我。
如果我還記得的話,會簡單解釋一下甚麼是虛數次方(其實我也只能說一下定義和算法)。
至於黎曼猜想......太難就不發表意見,但我能說求和法本來就不是純粹加起來。
https://brilliant.org/wiki/sums-of-divergent-series/
看起來很不錯,但我對數學興趣不算很大,就留待大家研究了。

編輯:
要重新再排版了…電腦排版和電話很大分別...
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LV. 32
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18 樓 可能性之獸 a108045
GP0 BP-


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LV. 44
GP 10k
19 樓 寂寞晴空塔 j0958322080
GP0 BP-
無聊回個指數是虛數要怎麼辦,考慮 i^i,i = sqrt(-1),
由歐拉公式可知 exp(ik) = cosk + isink = i --> k = pi()/2
i^i = [exp(ik)]^i = exp(-k) = exp(-pi()/2)

所以我想這是一種算法,只是不知道要怎麼算出級數和



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