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【心得】蛋池分析,我tm到底要存幾抽才夠? 2019/10/5-21.35更新

樓主 黑先生 unlimit999
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前言
1.不歡迎帶節奏、陰謀論的人,要吵請去別的地方吵。
2.雖然這純粹是因為有興趣才開始算的,不過相信這對於各位在成本估計方面會很有幫助。
3.所有算法、程式碼都是透明公開的,歡迎各位找碴或幫忙優化
對此方面有疑問的人歡迎提問,能解答的我都盡量解答。


2018/07/08大更新:針對精準、擴充進行了詳細的分析,方便大家估一下成本和翻車率
2018/07/09小更新:針對日服機制進行了擴充初始S、精準up武器的分析
2019/10/05小更新:因應許願池規則更新,更新了精準池-聖痕的算法跟結果


一、計算非保底出貨率α
米忽悠在公布概率的公示上,會寫著『綜合概率、詳細概率』,但其實這些概率都不是你單抽時的真正概率,更準確地來說,這些概率是你『大數據抽取下』的平均出貨量。

這到底是什麼意思?

我以精準的例子來說明一下

"如果"4星裝備,"真的"就是每次單抽的概率就是12.395%,那麼在沒有保底機制的情況下,四星裝備綜合概率為12.395%,可我們知道米忽悠是有保底,因此算上保底的話,四星裝備概率肯定大於12.395%!

但你游抽卡真有這麼良心?   當然不是

實際上在有保底的機制下,
精準單抽的概率壓根就不是"穩定"12.395%

米忽悠的操作是這樣的...
1.沒有保底→出貨率為α(即清除保底的概率
2.觸發保底→出貨率為100%

也就是說每一發單抽的概率會隨著保底次數而產生劇烈波動,沒保底時單抽概率是遠低於綜合概率12.395%的,而有保底時單抽概率又遠高於綜合概率12.395%。

所謂的綜合概率12.395%,
其實是由『較低個概率α、超高的概率100%』
這兩個概率互相搭配形成的"平均值"

但對於玩家來說,這個非保底出貨率α很迷,遊戲內並沒有公告出來,那麼接下來就要詳細介紹這個數字,我們要怎麼算出來?

先來想想...
"若非保底出貨概率為α,則期望次數為多少?"
第1抽出貨的概率=α
....
第 i 抽出貨的概率=α*(1-α)^(i-1)
....
第9抽出貨的概率=α*(1-α)^8
第10抽出貨的概率=(1-α)^9

所以抽到出貨(即清除保底)的"期望次數"為:
1*α+2*α*(1-α)+3*α*(1-α)^2+4*α*(1-α)^3+5*α*(1-α)^4+6*α*(1-α)^5+7*α*(1-α)^6+8*α*(1-α)^7+9*α*(1-α)^8+10*1*(1-α)^9

由官方提供的概率,我們可以分析出"出貨"的期望次數
精準公布的出貨概率為12.395%,所以抽中四星裝備的"期望次數"為1/12.395%
擴充公布的出貨概率為15%,所以抽中A級以上角色卡的"期望次數"為1/15.00%

因此我們就可以列出方程式了
●精準非保底出貨率:
1*α+2*α*(1-α)+3*α*(1-α)^2+4*α*(1-α)^3+5*α*(1-α)^4+6*α*(1-α)^5+7*α*(1-α)^6+8*α*(1-α)^7+9*α*(1-α)^8+10*1*(1-α)^9=1/12.395%

●擴充非保底出貨率:
1*α+2*α*(1-α)+3*α*(1-α)^2+4*α*(1-α)^3+5*α*(1-α)^4+6*α*(1-α)^5+7*α*(1-α)^6+8*α*(1-α)^7+9*α*(1-α)^8+10*1*(1-α)^9=1/15.000%

此解有明確的上下界,畢竟概率怎樣都是在[0~1]這個區間,可用牛頓迭代法來求解,而我這邊就用Maxima來算算

程式碼:
find_root(1*x+2*x*(1-x)+3*x*(1-x)^2+4*x*(1-x)^3+5*x*(1-x)^4+6*x*(1-x)^5+7*x*(1-x)^6+8*x*(1-x)^7+9*x*(1-x)^8+10*1*(1-x)^9-1/0.12395, x, 0, 1);

find_root(1*x+2*x*(1-x)+3*x*(1-x)^2+4*x*(1-x)^3+5*x*(1-x)^4+6*x*(1-x)^5+7*x*(1-x)^6+8*x*(1-x)^7+9*x*(1-x)^8+10*1*(1-x)^9-1/0.15000, x, 0, 1);
解得:
精準非保底出貨率:0.04877033334098730
擴充非保底出貨率:0.09427342057266558

二、簡單的分析

由官方公佈的精準補給概率,不難看出,稀有裝備之間的比例為
up武器:up聖痕:up外武器:up外聖痕=24:12:4:3

其中
up武器..............1件,佔有比例20%
up聖痕..............3件,佔有比例30%
up外武器..........6件,佔有比例20%
up外聖痕........12件,佔有比例30%

也就是說,在已經確定吃保底的情況下
有50%概率up內
有50%概率up外

有40%概率出武器
有60%概率出聖痕

中up武器概率為20%
中up聖痕概率為30%
中"特定某個位置的up聖痕"概率為10%

三、詳細分析

大家最關心問題的想必是:
我想抽擴充的初始S,那大概要準備幾抽才夠用?
我想抽up武器,那大概要準備幾抽才夠用?
我想抽up聖痕,那大概要準備幾抽才夠用?

要回答這個問題之前,首先我們要先建立一下數學模型:
假設
第K抽,保底已經累積 i 次,沒出貨(即沒清除保底)的機率
為P(K,i)
非保底出貨的概率為α、確定出貨的前提下出up產物的概率β

則我們有遞迴關係式

初始值
P(1,0)=α(1-β)

P(1,1)=
1-α

1. i >0時,
P(K, i )=
(1-α)P(K-1, i -1)

2. i =0時,
P(K, i )=(1-β)P(K-1,9)+sum[ j ,0,8,α(1-β)P(K-1, j )]
、β此兩常數隨池子類型、版本迭代更新可能會出現改動,請自行注意。

顯而易見的,其實任意
P(K,i)都是可以慢慢用遞迴算出來的。

然後當我們有P(K,i)的詳細數據之後,
那麼一口氣抽K次,出貨的概率也就能被算出來了

假設
一口氣抽K次,出貨的概率為P_get(K),這個很簡單...
所以ㄙㄨㄛ其實就是1減去所有抽不到的情況,而抽不到有幾中情況,分別為P(K,0) ~ P(K,9)

所以
P_get(K)=1-sum[ i ,0,9,P(K,i)]
所以
P(K,0)、


*而日服的話,因為沒保底機制,所以情况就非常單純
假設出貨的概率為α、一口氣抽K次,出貨的概率為P_get(K)
1減去連續K抽都抽不到的概率,就是P_get(K)了
所以日服的P_get(K)=1-(1-α)^K

_get(K)

那接下來就用Python3來實作吧
python3
CH



JP

●抽擴充
*非保底出A級以上角色的概率α為0.09427342057266558
*確定出A級以上角色,且角色為初始S的概率β為0.1
從這邊可以看出,米忽悠在沒有額外的百連保底時,擴充到底有多麼毒
沒百連保底時,百抽出貨的概率約80%,平均每5個百抽的人就有一個翻車...

這樣想想...
現在如果真的吃100發強制保底,那其實也還過得去,畢竟在沒大保底之前百抽都還有20%概率翻車...
米忽悠在這邊的讓步還是很可以的
*大保底
米忽悠有聲明過是"額外的概率",不計入綜合概率中,所以這算法沒問題

●抽Up武器
*非保底出初始四星裝備的概率α0.04877033334098730
*確定出四星裝備,且裝備為up武器的概率β為:0.2
15發以內出貨的是歐洲人,
45發左右出貨的是亞洲人,
90發左右出貨的是非洲人。
至於抽了120發還是沒中的,割盲腸的時候,請慎重考慮一下!
另外,可以發現一個有趣的現象,
在低次數的情況下,出貨概率 CH版 < JP版

在正常次數的情況,出貨概率大致上差不多
高次數的情況下,出貨概率 CH版 > JP版
*單兩者的單抽綜合概率其實是一樣的,不一樣的是概率分布

這其實很正常,因為CH版有保底機制的關係,
所以降低了極端值的出現頻率,也就是歐洲人、非洲人的數量會相對少一點。

而JP版沒保底,所以極端值的出現頻率有沒被降低,整體呈現正常的常態分佈,所以歐洲人、非洲人的數量會相對多一點

在綜合概率保持一樣的情況下,具有保底機制的一方"低次數抽出貨的歐皇、高次數仍抽不到的非酋"的比例會比較低。

●抽Up聖痕*
*非保底出初始四星裝備的概率α0.04877033334098730
*確定出四星裝備,且裝備為up聖痕的概率β為0.3

結論:
抽某單件聖痕的話,
現在許願規則改了之後,50發有66%概率、70發有80%概率,相比以前提昇非常多
中課玩家或許能考慮看看,而中低課、低課還是不推薦單吊就是了...

而想兩件套、三件套,比較慫的人,
準備個110發~140發也算比較穩了,畢竟"八成"抽得到233333

至於200連都還沒齊一整套的人,割盲腸的時候小心一點......
畢竟盲腸手術成功率才95%
*備註:
聖痕的情況比較複雜,用之前的遞迴方法會很麻煩,所以我自己就另外動手寫了一下新的程式碼...

但這個是基於模擬抽卡統計得來的數據,跟前面那些用嚴謹數學推導還是有些不同的,每個人用下面的程式碼跑出來,數據會有少許波動,但誤差不是很大,還可以接受。

聖痕抽取程式碼:
python3


最後祝大家抽的開心
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3 樓 黑先生 unlimit999
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補充參考資料:

遊戲抽卡概率設計:10連抽保底的概率模型
http://www.youxiguancha.com/yanfazixun/35394.html

手游保底概率計算?
https://www.zhihu.com/question/55041341

如何看待崩壞3日服福利比國服好事件?
https://www.zhihu.com/question/55912377

為什麼有人說《暗黑破壞神 3》中的隨機是「偽隨機」?
https://www.zhihu.com/question/20593220/answer/15586152

另外科普一下:
現在我們主流的所有電腦、計算機,都是使用『決定型計算』,
也就是說輸入一樣的值,就一定會得到相同的結果,不管重複計算幾次都一樣。

那可能會有人質疑了,為什麼我使用程序語言內建的隨機函數,能每次都跑出不同的值?

那是因為
『程序運行的時候不僅僅只動用到你輸入的值而已,
它還會抽取你電腦的硬體資料、當前時間、....等等等等雜訊下去計算,
因此看起來是隨機,但其實都是必然,只是人類無法掌握這種必然,所以感覺像隨機。』


想要了解更詳細的人可以看看這個....

電腦的隨機數是如何做到的?
http://novus.pixnet.net/blog/post/32238099

真正的隨機非常非常難做到,那怕是骰子、硬幣也不是真隨機...

目前最接近『理論上的隨機』的是量子運動之類的微觀物理


還有一個FGO版對於遊戲商抽卡的『程序運行解說』
【密技】破解抽卡迷思-真正的抽卡程式秘辛

我不確定崩崩崩是否也是這機制,
但自從我看了之後,我個人是習慣up的那一瞬間(中午12.00)馬上去抽....

崩崩崩可能也是這機制,也可能不是,
而且就算是用這機制好了.......也沒人知道幾小時重新生成一次數據庫阿ORZ

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LV. 3
GP 19
9 樓 一葉之秋 htj860301700
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黑先生,我問你哦!
我帳號抽10次精準,有9次都中武器算正常嗎?
反而聖痕滿少的,玩到現在我的角色71等幾乎都是用貧民聖痕......
而且是每期精準加倍,第一次10抽,都會抽到武器......
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LV. 37
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10 樓 黑先生 unlimit999
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2019/10/05小更新:因應許願池規則更新,更新了精準池-聖痕的算法跟結果

在每一期只能許願一次的情況下,除了抽3件套概率沒變化之外

抽兩件套的概率分析...
105抽 66%概率→  80抽66%概率
130抽 80%概率→110抽80%概率
足足少了20抽!

單吊1件的概率分析...
  80抽 66%概率→50抽66%概率
105抽 80%概率→70抽80%概率
足足少了30~35抽!


雖然還是有些坑,但至少變得稍微香一點了
裝備擴充的意義好像越來越....
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